Il 14 marzo non è un Pi Day regolare quest'anno. Gli appassionati di matematica di tutto il mondo celebrano l'evento come Ultimate Pi Day, perché la data corrisponderà alle prime cinque cifre di pi (3.1415) anziché alle prime tre. Questa confluenza matematica non si verificherà più per un secolo, il 14 marzo 2115.
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- Il mondo è pieno di cerchi
Definito come il rapporto tra la circonferenza di un cerchio e il suo diametro, pi ( π ) è sia un numero trascendentale che un numero irrazionale, il che significa che non può mai essere scritto come il rapporto di due numeri interi, e continua indefinitamente senza alcun motivo ripetuto. Pi non è l'unico numero irrazionale: c'è anche il numero di Eulero (e) e il rapporto aureo ( φ, o phi), per esempio. Ma continua ad essere una fonte di fascino perché le sue origini sono facilmente spiegabili, afferma Mario Livio, un astrofisico dello Space Telescope Science Institute nel Maryland.
“Tutti possono capire come deriva pi. Tutti gli altri numeri sono più complessi. Il numero phi, ad esempio, coinvolge una particolare divisione di una linea e il numero e richiede che tu sappia cos'è un logaritmo ”, afferma Livio, autore del libro Is God a Mathematician?
Un'altra grande parte del fascino di pi è che ha un talento sorprendente per apparire in formule matematiche, molte delle quali sono importanti per i processi quotidiani dall'elaborazione delle immagini alla navigazione GPS. Ecco solo un piccolo esempio delle formule comunemente usate che includono pi:
La trasformata di Fourier
Chiamato per il matematico francese Jean-Baptiste Joseph Fourier, questo strumento matematico decompone un segnale nelle sue frequenze componenti - piuttosto come il modo in cui un accordo musicale può essere scomposto nelle sue note componenti. In sostanza, le trasformate di Fourier sono ideali per elaborare segnali basati su onde come suono o luce e trovare schemi. Ciò rende la trasformata di Fourier uno strumento fondamentale nel moderno mondo digitale.
“È stato chiamato il singolo algoritmo più importante mai sviluppato dall'umanità. Ora potrebbe essere un'iperbole, ma forse non lo è ”, afferma Glen Whitney, fondatore e direttore del National Museum of Mathematics di New York City. Le trasformazioni di Fourier vengono utilizzate continuamente per ripulire le immagini digitali, per sintonizzare automaticamente le pop star e per trovare pianeti lontani che orbitano attorno ad altre stelle. Lo strumento è anche cruciale per le funzionalità di voice-to-text che ora sono standard sugli smartphone. "Quando usi Siri o Google Now, uno dei primi passi è prendere la tua voce e fare una trasformazione di Fourier su di essa ... risulta molto più facile riconoscere le vocali quando guardi le loro trasformazioni di Fourier rispetto a quando guardi il segnali originali ", afferma Whitney.
(Illustrazione di Victoria Jaggard) Pi appare nella trasformata di Fourier perché una delle parti componenti, o espressioni, della formula è associata a seno e coseno e agli angoli creati da una particella che circonda un cerchio. "Ogni volta che hai una formula che si occupa di cerchi o angoli, non rimarrai sorpreso quando si presenta pi", dice Whitney.
Principio di incertezza di Heisenberg
Uno dei pilastri della meccanica quantistica, il principio di incertezza di Heisenberg afferma che un osservatore non può conoscere contemporaneamente la posizione e la velocità di una particella subatomica. Invece, più precisamente si conosce la posizione di una particella, meno si può sapere della sua velocità.
(Illustrazione di Victoria Jaggard) La comparsa di pi nel principio di incertezza di Heisenberg ha senso quando ti rendi conto che nella formula, posizione e quantità di moto sono trasformazioni di Fourier l'una dell'altra, dice Whitney. Il principio di incertezza è importante nel mondo moderno perché descrive il comportamento delle particelle di luce, o fotoni, nei sistemi di comunicazione in fibra ottica. “Ciò che ci dice è che non possiamo conoscere sia la posizione che la quantità di moto dei fotoni con estrema precisione. Non è possibile progettare protocolli di comunicazione che violano il principio di incertezza di Heisenberg, perché non funzioneranno. "
Legge di Stoke
La legge di Stoke calcola la forza necessaria per muovere una piccola sfera - cioè un cerchio tridimensionale - attraverso un fluido viscoso a una certa velocità. Ha applicazioni in campi che vanno dalle scienze della Terra alla medicina.
(Illustrazione di Victoria Jaggard) "La legge riguarda specificamente l'effetto della viscosità su una sfera nel fluido", afferma Whitney, ed è così che entra in gioco il pi. Per quanto riguarda gli usi pratici della legge di Stoke, non guardare oltre la tua auto. "Per decenni, il modo in cui le aziende si sono assicurate che il tuo olio motore avesse la giusta viscosità per la tua auto è stato quello di far cadere letteralmente una serie di sfere di prova nell'olio e misurare il tempo necessario per farli cadere nel liquido", afferma Whitney. Oggi, il modo più comune per misurare la viscosità dell'olio prevede uno strumento chiamato viscosimetro a tubo capillare, senza sfere necessarie, ma riporta comunque il risultato in unità di misura chiamate centistoke.
Formula di Eulero
Prende il nome dal matematico svizzero Leonard Euler, la versione di questa formula che include raccoglie alcuni dei numeri più intriganti della matematica in un unico posto:
(Illustrazione di Victoria Jaggard) “Tutti pensano che sia incredibile. Tutti questi numeri che consideriamo speciali appaiono in una bellissima equazione ”, afferma Livio. Mentre questa formula pithy può ispirare timore reverenziale nei matematici, la forma più utile dell'equazione è leggermente più lunga:
(Illustrazione di Victoria Jaggard) Questa versione non imballata della formula di Euler è uno strumento incredibile, dice Whitney. Ad esempio, è importante per la progettazione di componenti elettronici che utilizzano corrente alternata o CA. "La formula di Eulero in forma estesa significa che puoi usare numeri complessi, o immaginari, per analizzare e progettare circuiti CA", afferma Whitney. Questo perché in un circuito a corrente alternata, la tensione è una quantità che oscilla nel tempo, in genere 60 volte al secondo, ad esempio, nell'alimentazione elettrica standard degli Stati Uniti. "La versione completa della formula di Euler insegna come possiamo usare numeri complessi come una comoda scorciatoia per modellare fenomeni oscillanti", afferma Whitney.
Equazioni di campo di Einstein
Componente fondamentale della sua teoria della relatività generale, le equazioni di campo di Albert Einstein descrivono come la gravità della massa e dell'energia creino la curvatura dello spazio-tempo.
(Illustrazione di Victoria Jaggard) "Descrivere che la curvatura coinvolge la geometria e poiché la definizione originale di pi deriva dalla geometria, il suo aspetto in questa equazione non è così sorprendente", afferma Livio. Oltre a rivelare una verità fondamentale su come funziona l'universo, la relatività generale ha molte applicazioni pratiche. Ad esempio, i satelliti che compongono il sistema di posizionamento globale utilizzato per la navigazione sarebbero irrimediabilmente non sincronizzati tra loro se gli ingegneri non prendessero in considerazione gli effetti di dilatazione del tempo previsti dalla teoria.
