Quando la maggior parte di noi vede una macchina per tirare il taffy che si fa strada su una passerella turistica, pensiamo allo zucchero dolce e dolce. Jean-Luc Thiffeault pensa alla matematica dolce e dolce. Come matematico applicato all'Università del Wisconsin-Madison, Thiffeault è particolarmente interessato al modo in cui materiali come il taffy si mescolano: nella macchina, le caramelle vengono allungate e piegate più e più volte per incorporare l'aria e sviluppare la sua consistenza leggera e gommosa. Man mano che viene tirato, il rettangolo originale di taffy si allunga sempre di più - la sua lunghezza cresce esponenzialmente dello stesso rapporto ogni volta. Quel tratto tratto è ciò che interessa Thiffeault.
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Quando una persona tira taffy, generalmente prende il pezzo di caramelle e lo allunga su un gancio, unendo le due estremità. Quindi prenderanno quel pezzo piegato e lo allungheranno di nuovo sul gancio, raddoppiando la lunghezza e così via. In altre parole, "Il modo umano di farlo è un fattore di moltiplicazione di 2", afferma Thiffeault. Gli estrattori meccanici possono fare di meglio, spesso producendo numeri irrazionali più grandi ed esotici come fattori di allungamento.
Si scopre che il taffy pull può essere modellato da un campo astratto della matematica noto come dinamica topologica, essenzialmente lo studio di cambiamenti a lungo termine su larga scala nel tempo in uno spazio matematico. (Se la parola topologica suona familiare, è stata recentemente nelle notizie come parte del Premio Nobel per la fisica di quest'anno.) La stessa matematica che descrive il taffy-pull ha anche applicazioni più serie: molti processi industriali, tra cui soffiatura del vetro e preparazione dei farmaci, richiedono i liquidi viscosi devono essere miscelati in modi che sono più come tirare il taffy che mescolare la crema nel caffè. "Se stai cercando di mescolare cose davvero viscose, come le paste dell'industria farmaceutica, non puoi semplicemente scuoterle", afferma Thiffeault. "Non è come mescolare la vernice."
Thiffeault ha capito il taffy-pull come un esempio di miscelazione viscosa per molto tempo, ma solo di recente ha effettivamente esaminato la storia dei taffy-puller per svelare i loro segreti matematici. Il risultato di quell'escursione nei brevetti storici è il suo recente articolo "Una storia matematica di estrattori di taffy", pubblicato sul server di prestampa arXiv a luglio.
Un'immagine da un brevetto di macchina per taffy del 1916 che appare nello studio di Thiffeault. In particolare, l'area che ha portato alla sua immersione profonda in taffy-puller è lo studio di quelle che vengono chiamate mappature pseudo-Anosov. Lo pseudo-Anosov è un modo elegante di descrivere un processo in cui una forma bidimensionale viene allungata in modo esponenziale in una direzione mentre si restringe nell'altra. Matematicamente, lo studio delle mappature pseudo-Anosov è relativamente nuovo. "Negli anni '70 e '80, le persone si stavano sforzando molto per trovare esempi", afferma Thiffeault. Ironia della sorte, erano lì da sempre in brevetti per estrattori di taffy. "Poiché i matematici non hanno mai guardato questa letteratura, non avrebbero mai saputo di esistere", dice.
Mentre stava esaminando i brevetti di taffy-puller, Thiffeault inciampò in una battaglia legale che arrivò fino alla Corte Suprema. In questione nel caso del 1921, Hildreth v. Mastoras era il modo in cui un brevetto del 1900 per un estrattore di taffy dovrebbe essere interpretato. Cioè: un modello successivo realizzato da qualcun altro era solo un piccolo miglioramento o era un dispositivo diverso? Una parte cruciale dell'argomento fu la differenza tra il brevetto del 1900 e un predecessore del 1893 (che probabilmente non fu mai prodotto). L'opinione della corte, scritta dal giudice supremo William Howard Taft, "mostra una profonda comprensione delle dinamiche topologiche", scrive Thiffeault nel suo articolo.
Il tribunale ha riconosciuto che il dispositivo precedente, che aveva solo due ganci, non avrebbe potuto allungare il taffy al livello esponenziale richiesto per un'efficace creazione della confezione. L'opinione di Taft afferma:
Con solo due ganci non è stato possibile lambire le caramelle, poiché non vi era un terzo perno per impegnare nuovamente le caramelle mentre era tenuto tra le altre due spine. Il movimento dei due perni in cerchi concentrici potrebbe allungarlo in qualche modo e mescolarlo, ma non lo tirerebbe nel senso dell'arte.
Thiffeault scrive: "L'opinione della Corte Suprema mostra l'intuizione fondamentale che sono necessarie almeno tre canne per produrre una sorta di rapida crescita".
Thiffeault dice che ci sono due estrattori di taffy standard in uso oggi, uno con tre aste e uno con quattro. Capita di avere lo stesso fattore di allungamento. È correlato al cosiddetto rapporto argento, 1+ √2, o circa 2.414, un cugino leggermente meno luminoso del più famoso rapporto aureo.
Il fatto che i due estrattori di taffy standard si allunghino con il rapporto argento è interessante perché il rapporto argento è - in un preciso senso matematico - ottimale. Tuttavia, Thiffeault avverte che non è così facile classificare diversi estrattori di taffy, anche quando si conoscono i loro fattori di stiramento: "C'è un aspetto di mele e arance che è abbastanza difficile da aggirare", dice. Un estrattore potrebbe avere più aste e impiegare più tempo per ritornare al suo stato iniziale rispetto a un altro, oppure potrebbe richiedere più coppia o ingranaggi più complicati. Quindi, sebbene la matematica fornisca alcune informazioni su quanto bene tirino i taffy-puller, non racconta la storia completa.
La ricerca di Thiffeault sui taffy-pullers ha ispirato lui e il suo studente universitario Alex Flanagan a costruire il proprio modello. Volevano vedere se potevano aumentare l'efficienza senza modificare molto gli ingranaggi e alla fine hanno realizzato un nuovo estrattore a 6 aste basato sull'ingranaggio dell'estrattore standard a 4 aste. "Il motivo per cui siamo stati in grado di farlo è che ora abbiamo la matematica", dice Thiffeault. Potevano modellare ampiamente la macchina sul computer e bypassare gran parte della prova e dell'errore con dispositivi fisici reali che gli inventori precedenti dovevano fare. Il dispositivo a 6 aste, che è ancora solo un prototipo, allunga di circa il doppio rispetto agli estrattori standard di ciascun ciclo.
Finora, i produttori di taffy puller non hanno esattamente battuto la porta di Thiffeault per ottenere i suoi consigli sull'ottimizzazione dei loro progetti - Big Taffy è apparentemente contento del suo status quo elastico - ma spera che i suoi metodi possano avere effetti in altri settori. Oltre alla soffiatura del vetro, un posto logico per miscelare l'ottimizzazione è l'industria farmaceutica. Dopotutto, miscelare vitamine e farmaci richiede un controllo di qualità estremamente elevato: i produttori sono "disposti a pagare molti soldi per una miscelazione perfetta" perché "non tollerano un cattivo multivitaminico su 1000", afferma Thiffeault. Quindi un giorno, i farmacisti potrebbero dare una dolce sorpresa ai devoti tirapiedi di un tempo.
Inoltre, potrebbe essere un po 'allungato.
