Il 20 marzo, il matematico americano-canadese Robert Langlands ricevette il Premio Abel, che celebrava il successo della sua vita in matematica. La ricerca di Langlands ha dimostrato come concetti da geometria, algebra e analisi potrebbero essere riuniti da un collegamento comune ai numeri primi.
Quando il re di Norvegia consegnerà il premio a Langlands a maggio, onorerà l'ultimo in uno sforzo di 2.300 anni per comprendere i numeri primi, probabilmente il più grande e antico set di dati in matematica. Come matematico dedicato a questo "programma di Langlands", sono affascinato dalla storia dei numeri primi e da come i recenti progressi svelano i loro segreti. Perché hanno affascinato i matematici per millenni?
Per studiare i numeri primi, i matematici filtrano i numeri interi attraverso una mesh virtuale dopo l'altra fino a quando rimangono solo i numeri primi. Questo processo di setacciatura ha prodotto tabelle di milioni di numeri primi nel 1800. Permette ai computer di oggi di trovare miliardi di numeri primi in meno di un secondo. Ma l'idea di base del setaccio non è cambiata in oltre 2000 anni.
"Un numero primo è ciò che viene misurato dalla sola unità", ha scritto il matematico Euclide nel 300 a.C. Ciò significa che i numeri primi non possono essere equamente divisi per nessun numero più piccolo tranne 1. Per convenzione, i matematici non considerano 1 stesso come un numero primo. Euclide ha dimostrato l'infinità di numeri primi - vanno avanti per sempre - ma la storia suggerisce che fu Eratostene a darci il setaccio per elencare rapidamente i numeri primi.
Ecco l'idea del setaccio. Per prima cosa, filtra i multipli di 2, quindi 3, quindi 5, quindi 7, i primi quattro numeri primi. Se lo fai con tutti i numeri da 2 a 100, rimarranno solo i numeri primi.
I setacci multipli di 2, 3, 5 e 7 lascia solo i numeri primi tra 1 e 100. (Per gentile concessione di MH Weissman) Con otto fasi di filtraggio, è possibile isolare i numeri primi fino a 400. Con 168 fasi di filtraggio, è possibile isolare i numeri primi fino a 1 milione. Questo è il potere del setaccio di Eratostene.
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Una figura iniziale nella tabulazione dei numeri primi è John Pell, un matematico inglese che si dedicò alla creazione di tabelle di numeri utili. Era motivato a risolvere antichi problemi aritmetici di Diophantos, ma anche con una ricerca personale per organizzare verità matematiche. Grazie ai suoi sforzi, i numeri primi fino a 100.000 furono ampiamente fatti circolare all'inizio del 1700. Nel 1800, progetti indipendenti avevano tabulato i numeri primi fino a 1 milione.
Per automatizzare le noiose fasi di setacciatura, un matematico tedesco di nome Carl Friedrich Hindenburg ha usato cursori regolabili per sbrigare multipli su un'intera pagina di un tavolo contemporaneamente. Un altro approccio a bassa tecnologia ma efficace ha usato gli stampini per localizzare i multipli. A metà del 1800, il matematico Jakob Kulik aveva intrapreso un ambizioso progetto per trovare tutti i numeri primi fino a 100 milioni.
Uno stencil usato da Kulik per setacciare i multipli di 37. AÖAW, Nachlass Kulik, (Immagine gentilmente concessa da Denis Roegel, Autore fornito) Questi "big data" del 1800 avrebbero potuto servire solo come tabella di riferimento, se Carl Friedrich Gauss non avesse deciso di analizzare i numeri primi per se stessi. Armato di un elenco di numeri primi fino a 3 milioni, Gauss iniziò a contarli, un "chiliad", o un gruppo di 1.000 unità alla volta. Ha contato i numeri primi fino a 1.000, poi i numeri primi tra 1.000 e 2.000, quindi tra 2.000 e 3.000 e così via.
Gauss scoprì che, mentre contava più in alto, i numeri primi diventano gradualmente meno frequenti secondo una legge del "registro inverso". La legge di Gauss non mostra esattamente quanti numeri primi ci sono, ma fornisce una stima abbastanza buona. Ad esempio, la sua legge prevede 72 numeri primi tra 1.000.000 e 1.001.000. Il conteggio corretto è di 75 numeri primi, circa un errore del 4%.
Un secolo dopo le prime esplorazioni di Gauss, la sua legge fu dimostrata nel "teorema dei numeri primi". L'errore percentuale si avvicina allo zero a intervalli sempre più grandi di numeri primi. L'ipotesi di Riemann, oggi un problema di premi da un milione di dollari, descrive anche quanto sia realmente accurata la stima di Gauss.
Il teorema dei numeri primi e l'ipotesi di Riemann attirano l'attenzione e il denaro, ma entrambi hanno dato seguito a un'analisi dei dati precedente, meno glamour.
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Oggi, i nostri set di dati provengono da programmi per computer piuttosto che da stencil tagliati a mano, ma i matematici stanno ancora trovando nuovi schemi nei numeri primi.
Ad eccezione di 2 e 5, tutti i numeri primi terminano con le cifre 1, 3, 7 o 9. Nel 1800, è stato dimostrato che queste possibili ultime cifre sono ugualmente frequenti. In altre parole, se osservi i numeri primi fino a un milione, circa il 25 percento termina in 1, il 25 percento termina in 3, il 25 percento termina in 7 e il 25 percento termina in 9.
Alcuni anni fa, i teorici dei numeri di Stanford Lemke Oliver e Kannan Soundararajan furono colti alla sprovvista da stranezze nelle cifre finali dei numeri primi. Un esperimento ha esaminato l'ultima cifra di un numero primo, nonché l'ultima cifra del numero primo successivo. Ad esempio, il primo primo dopo 23 è 29: uno vede un 3 e poi un 9 nelle ultime cifre. Si vedono 3 e 9 più spesso di 3 e 7, tra le ultime cifre dei numeri primi?
Frequenza delle coppie dell'ultima cifra, tra numeri primi successivi fino a 100 milioni. I colori corrispondenti corrispondono agli spazi corrispondenti. (MH Weissman, CC BY) I teorici dei numeri si aspettavano alcune variazioni, ma ciò che hanno trovato ha superato di gran lunga le aspettative. I primi sono separati da diversi vuoti; per esempio, 23 è a sei numeri di distanza da 29. Ma i numeri primi 3-allora-9 come 23 e 29 sono molto più comuni dei numeri primi 7-quindi-3, anche se entrambi provengono da un intervallo di sei.
I matematici trovarono presto una spiegazione plausibile. Ma, quando si tratta dello studio di numeri primi successivi, i matematici si limitano (principalmente) all'analisi dei dati e alla persuasione. Le prove - il gold standard dei matematici per spiegare perché le cose sono vere - sembrano decenni di distanza.
Questo articolo è stato originariamente pubblicato su The Conversation.
Martin H. Weissman, Professore associato di matematica, Università della California, Santa Cruz
