Molto probabilmente hai incontrato oggetti unilaterali centinaia di volte nella tua vita quotidiana - come il simbolo universale per il riciclaggio, trovato stampato sul retro di lattine di alluminio e bottiglie di plastica.
Questo oggetto matematico si chiama striscia di Mobius. Ha affascinato ambientalisti, artisti, ingegneri, matematici e molti altri sin dalla sua scoperta nel 1858 da August Möbius, un matematico tedesco morto 150 anni fa, il 26 settembre 1868.
Möbius scoprì la striscia unilaterale nel 1858 mentre serviva come cattedra di astronomia e meccanica superiore all'Università di Lipsia. (Un altro matematico di nome Listing lo ha effettivamente descritto pochi mesi prima, ma non ha pubblicato il suo lavoro fino al 1861.) Möbius sembra aver incontrato la striscia di Möbius mentre lavorava sulla teoria geometrica dei poliedri, figure solide composte da vertici, bordi e facce piatte .
Una striscia Möbius può essere creata prendendo una striscia di carta, dandole un numero dispari di mezze torsioni, quindi legando nuovamente le estremità insieme per formare un anello. Se prendi una matita e disegni una linea lungo il centro della striscia, vedrai che la linea apparentemente corre lungo entrambi i lati del ciclo.
Il concetto di oggetto unilaterale ha ispirato artisti come il graphic designer olandese MC Escher, la cui xilografia “Möbius Strip II” mostra le formiche rosse che strisciano una dopo l'altra lungo una striscia di Möbius.
La striscia di Möbius ha più di una proprietà sorprendente. Ad esempio, prova a prendere un paio di forbici e taglia la striscia a metà lungo la linea che hai appena disegnato. Potresti essere sorpreso di scoprire che non sei rimasto con due strisce Möbius unilaterali più piccole, ma invece con un lungo anello a due lati. Se non hai un pezzo di carta a portata di mano, la xilografia di Escher "Möbius Strip I" mostra cosa succede quando una striscia di Möbius viene tagliata lungo la sua linea centrale.
Mentre la striscia ha certamente un fascino visivo, il suo maggiore impatto è stato in matematica, dove ha contribuito a stimolare lo sviluppo di un intero campo chiamato topologia.
Un topologo studia le proprietà degli oggetti che vengono preservati quando vengono spostati, piegati, allungati o attorcigliati, senza tagliare o incollare insieme le parti. Ad esempio, una coppia aggrovigliata di auricolari è in un senso topologico la stessa di una coppia sgangherata di auricolari, perché cambiare uno nell'altro richiede solo muoversi, piegarsi e torcersi. Non è necessario tagliare o incollare per trasformarsi tra di loro.
Un'altra coppia di oggetti topologicamente identici sono una tazza di caffè e una ciambella. Poiché entrambi gli oggetti hanno solo un foro, uno può essere deformato nell'altro semplicemente allungando e piegando.
Una tazza si trasforma in una ciambella. (Wikimedia Commons) Il numero di fori in un oggetto è una proprietà che può essere modificata solo tagliando o incollando. Questa proprietà - chiamata "genere" di un oggetto - ci permette di dire che una coppia di auricolari e una ciambella sono topologicamente differenti, poiché una ciambella ha un foro, mentre una coppia di auricolari non ha buchi.
Sfortunatamente, una striscia Möbius e un anello a due facce, come un tipico cinturino in silicone, sembrano entrambi dotati di un foro, quindi questa proprietà non è sufficiente per distinguerli, almeno dal punto di vista di un topologo.
Invece, la proprietà che distingue una striscia di Möbius da un anello a due lati è chiamata orientabilità. Come il suo numero di fori, l'orientamento di un oggetto può essere modificato solo attraverso il taglio o l'incollaggio.
Immagina di scrivere una nota su una superficie trasparente, quindi di fare una passeggiata su quella superficie. La superficie è orientabile se, quando torni dalla tua camminata, puoi sempre leggere la nota. Su una superficie non orientabile, puoi tornare dalla tua passeggiata solo per scoprire che le parole che hai scritto apparentemente si sono trasformate nella loro immagine speculare e possono essere lette solo da destra a sinistra. Sul loop a due lati, la nota verrà sempre letta da sinistra a destra, indipendentemente da dove ti ha portato il viaggio.
Poiché la striscia di Möbius non è orientabile, mentre l'anello a due lati è orientabile, ciò significa che la striscia di Möbius e l'anello a due lati sono topologicamente differenti.
(Creato da David Gunderman) All'avvio della GIF, i punti elencati in senso orario sono neri, blu e rossi. Tuttavia, possiamo spostare la configurazione a tre punti attorno alla striscia Möbius in modo tale che la figura si trovi nella stessa posizione, ma i colori dei punti elencati in senso orario ora sono rossi, blu e neri. In qualche modo, la configurazione si è trasformata nella sua immagine speculare, ma tutto ciò che abbiamo fatto è spostarlo sulla superficie. Questa trasformazione è impossibile su una superficie orientabile come l'anello a due lati.
Il concetto di orientabilità ha importanti implicazioni. Prendi gli enantiomeri. Questi composti chimici hanno le stesse strutture chimiche ad eccezione di una differenza chiave: sono immagini speculari l'una dell'altra. Ad esempio, la L-metanfetamina chimica è un ingrediente di Vicks Vapor Inhalers. La sua immagine speculare, D-metanfetamina, è una droga illegale di classe A. Se vivessimo in un mondo non orientabile, queste sostanze chimiche sarebbero indistinguibili.
La scoperta di August Möbius ha aperto nuovi modi di studiare il mondo naturale. Lo studio della topologia continua a produrre risultati sorprendenti. Ad esempio, l'anno scorso, la topologia ha portato gli scienziati a scoprire strani nuovi stati della materia. La Fields Medal di quest'anno, il più alto riconoscimento in matematica, è stata assegnata ad Akshay Venkatesh, un matematico che ha contribuito a integrare la topologia con altri campi come la teoria dei numeri.
Questo articolo è stato originariamente pubblicato su The Conversation.
David Gunderman, Ph.D. studente in Matematica applicata, Università del Colorado e Richard Gunderman, Cancelliere Professore di medicina, arti liberali e filantropia, Università dell'Indiana
